Question

我們知道，y=a^x(a＞0且a≠1)與y=log_ax(a＞0且a≠1)互為反函數(shù)。只要把其中一個(gè)進(jìn)行指對(duì)互化，就可以得到它的反函數(shù)的解析式。任意一個(gè)函數(shù)y=f(x)，將x用y表示出來能否得到它的反函數(shù)？據(jù)函數(shù)的定義：對(duì)于自變量x的每一個(gè)值y都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，如果存在反函數(shù)，應(yīng)是對(duì)于y的每一個(gè)值，x都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，據(jù)此探究下列函數(shù)是否存在反函數(shù)？若是，反函數(shù)是什么？若否，為什么？
(1)y=2x+1；
(2)y=；
(3)y=x²；
(4)y=。

Answer 1

解：(1)∵y=2x+1是單調(diào)增函數(shù)，由y=2x+1解得x=(y-1)，
這時(shí)對(duì)任意y∈R，都有唯一確定的x與之對(duì)應(yīng)，也就是x是y的函數(shù)，
按習(xí)慣用x表示自變量，y表示函數(shù)，
則y=2x+1的反函數(shù)為y=(x-1)．
(2)同(1)的道理，∵y=單調(diào)增，也存在反函數(shù)，由y=解出x=y²，
∴y=的反函數(shù)為y=x²，因?yàn)檫@里的x就是y=中的y且y≥0，
∴x≥0，即反函數(shù)為y=x²(x≥0)．
(3)∵x=±1時(shí)，都有y=1，反過來對(duì)于y=1，x有兩個(gè)值與之對(duì)應(yīng)，故y=x²不存在反函數(shù)．
(4)由y=，解得x=，
對(duì)y的每一個(gè)值，x都有唯一值與之對(duì)應(yīng)，
故存在反函數(shù)，反函數(shù)為y=(x≠2)．