Question

設函數f（x）的定義域為D，如果對于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使得 

f(x1)+f(x2)

2

=C成立（其中C為常數），則稱函數y=f（x）在D上的均值為C，現在給出下列4個函數：①y=x³②y=4sinx③y=lgx④y=2^x，則在其定義域上的均值為 2的所有函數是下面的（　　）

• A、①②
• B、③④
• C、①③④
• D、①③

Answer 1

分析：由題意可得，均值為2，則

f(x1)+f(x2)

2

=2即f（x₁）+f（x₂）=4，要滿足已知的條件，則必需使所求的函數單調函數，也不能為周期函數，還得讓函數滿足值域為R，然后結合已知函數逐項排除．

解答：解：由題意可得，均值為2，則

f(x1)+f(x2)

2

=2即f（x₁）+f（x₂）=4
①：y=x³在定義域R上單調遞增，對應任意的x₁，則存在唯一x₂滿足x₁³+x₂³=4①正確
②：y=4sinx，滿足4sinx₁+4sinx₂=4，令x1=

π

2

，則根據三角函數的周期性可得，
滿足sinx₂=0的x₂無窮多個，②錯誤
③y=lgx在（0，+∞）單調遞增，對應任意的x₁＞0，則滿足lgx₁+lgx₂=4的x₂唯一存在③正確
④y=2^x滿足2x1+2x2=4，令x₁=3時x₂不存在④錯誤
故選D．

點評：本題主要考查了函數的新定義，解決問題的關鍵是要根據已知定義，把題中的定義進行轉化，要求考生具備閱讀轉化的能力