Question

過拋物線y²=4ax（a＞0）的焦點F，作相互垂直的兩條焦點弦AB和CD，求|AB|+|CD|的最小值．

Answer 1

【答案】分析：根據拋物線方程求得焦點坐標，設直線AB方程為y=k（x-a），則CD方程可得，分別代入拋物線方程，根據拋物線定義可知|AB|=x_A+x_B+p，|CD|=x_C+x_D+p進而可求得|AB|+|CD|的表達式，根據均值不等式求得|AB|+|CD|的最小值為16a．
解答：解：拋物線的焦點F坐標為（a，0），設直線AB方程為y=k（x-a），
則CD方程為，
分別代入y²=4x得：k²x²-（2ak²+4a）x+k²a²=0及，
∵，|CD|=x_C+x_D+p=2a+4ak²+2a，
∴，當且僅當k²=1時取等號，
所以，|AB|+|CD|的最小值為16a．
點評：本題主要考查了拋物線的應用．涉及了直線與拋物線的關系及拋物線的定義．