Question

某興趣小組測量電視塔AE的高度H（單位：m），如示意圖，垂直放置的標桿BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β．
（1）該小組已經測得一組α、β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，請據此算出H的值；
（2）該小組分析若干測得的數據后，認為適當調整標桿到電視塔的距離d（單位：m），使α與β之差較大，可以提高測量精確度．若電視塔的實際高度為125m，試問d為多少時，α-β最大？

Answer 1

【答案】分析：（1）在Rt△ABE中可得AD=，在Rt△ADE中可得AB=，BD=，再根據AD-AB=DB即可得到H．
（2）先用d分別表示出tanα和tanβ，再根據兩角和公式，求得tan（α-β）=，再根據均值不等式可知當d===55時，tan（α-β）有最大值即α-β有最大值，得到答案．
解答：解：（1）=tanβ⇒AD=，同理：AB=，BD=．
AD-AB=DB，故得-=，
得：H===124．
因此，算出的電視塔的高度H是124m．
（2）由題設知d=AB，得tanα=，tanβ===，
tan（α-β）====
d+≥2，（當且僅當d===55時，取等號）
故當d=55時，tan（α-β）最大．
因為0＜β＜α＜，則0＜α-β＜，所以當d=55時，α-β最大．
故所求的d是55m．
點評：本題主要考查解三角形的知識、兩角差的正切及不等式的應用．當涉及最值問題時，可考慮用不等式的性質來解決．