Question

若x=3是函數f（x）=aln（1+x）+x²-10x的一個極值點．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）若直線y=b與函數y=f（x）的圖象有3個交點，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）因為f′(x)=

a

1+x

+2x-10，所以f′(3)=

a

4

+6-10=0，因此a=16，由此能求出f（x）的單調區間．
（2）由（1）知，f（x）在（-1，1）內單調增加，在（1，3）內單調減少，在（3，+∞）上單調增加，故在f（x）的三個單調區間（-1，1），（1，3），（3，+∞），直線y=b與y=f（x）的圖象各有一個交點，由此能求出b的取值范圍．

解答：解：（1）因為f′(x)=

a

1+x

+2x-10，
所以f′(3)=

a

4

+6-10=0，因此a=16…2分
故 f（x）=16ln（1+x）+x²-10x，x∈（-1，+∞），
f′(x)=

2(x2-4x+3)

1+x

…4分
當x∈（-1，1）∪（3，+∞）時，f′（x）＞0，
當x∈（1，3）時，f′（x）＜0，
所以f（x）的單調增區間是（-1，1），（3，+∞），f（x）的單調減區間是（1，3）…6分
（2）由（1）知，f（x）在（-1，1）內單調增加，
在（1，3）內單調減少，在（3，+∞）上單調增加，
所以f（x）的極大值為f（1）=16ln2-9，極小值為f（3）=32ln2-21，…8分
所以在f（x）的三個單調區間（-1，1），（1，3），（3，+∞），
直線y=b與y=f（x）的圖象各有一個交點，
當且僅當f（3）＜b＜f（1）．
因此b的取值范圍為（32ln2-21，16ln2-9）．…12分．

點評：本題考查函數的單調性的求法，考查滿足條件的實數的取值范圍的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．