Question

已知函數f（x）滿足f（1）=1，對于任意的實數x，y都滿足f（x+y）=f（x）+f（y）+2y（x+y）+1，若x∈N^*，則函數f（x）的解析式為

1. A.
   f（x）=-1
2. B.
   f（x）=4x²-1
3. C.
   f（x）=0
4. D.
   f（x）=x²+3x-3

Answer 1

D
分析：先根據賦值法結合已知條件得到f（x+1）-f（x）=2x+4；再利用疊加法即可求出結論．
解答：由題意：在f（x+y）=f（x）+f（y）+2y（x+y）+1中令y=1，
則有f（x+1）=f（x）+f（1）+2（x+1）+1=f（x）+2x+4；
則f（x+1）-f（x）=2x+4；
所以：f（2）-f（1）=2×1+4；
f（3）-f（2）=2×2+4；
…
f（x）-f（x-1）=2（x-1）+4．
上面各式相加得：f（x）-f（1）
=2×1+2×2+…+2（x-1）+4（x-1）
=2×[1+2+…+（x-1）]+4（x-1）
=x²+3x-4；
∴f（x）=f（1）+x²+3x-4=x²+3x-3．
故選D．
點評：本題主要考查抽象函數及其應用以及疊加法求通項的應用．解決本題的關鍵在于根據賦值法結合已知條件得到遞推式：f（x+1）-f（x）=2x+4．