Question

（2012•奉賢區一模）函數f(x)=

x+ 1 2 ，x∈[0， 1 2 ) 2(1-x)，x∈[ 1 2 ，1]

，定義f（x）的第k階階梯函數fk(x)=f(x-k)-

k

2

，x∈(k，k+1]，其中k∈N^*，f（x）的各階梯函數圖象的最高點P_k（a_k，b_k），最低點Q_k（c_k，d_k）．
（1）直接寫出不等式f（x）≤x的解；
（2）求證：所有的點P_k在某條直線L上．
（3）求證：點Q_k到（2）中的直線L的距離是一個定值．

Answer 1

分析：（1）按分段函數分段標準討論x，然后解不等式f（x）≤x即可；
（2）先求出函數f_k（x）的解析式，然后研究函數f_k（x）的單調性，從而得到f（x）的第k階階梯函數圖象的最高點P_k的坐標，然后求出過P_kP_k+1這兩點的直線的斜率和過P_k+1P_k+2這兩點的直線的斜率，可證得所有的點P_k在某條直線L上．
（3）先求出求得最低點Qk(k+1，

-k

2

)，利用點到直線L的距離公式求得結果為定值．

解答：解：（1）當x∈[0，

1

2

]時，故不等式f（x）=x+

1

2

≤x，x無解；
當x∈[

1

2

，1]時，f（x）=2（1-x）≤x，解得x∈[

2

3

，1]．
不等式f（x）≤x的解集為 [

2

3

，1]．---------（4分）
（2）由f（x）的第k階階梯函數的定義可得
fk(x)=

x+ 1-3k 2 ，x∈(k，k+ 1 2 ] 2(1-x)+ 3k 2 ， x∈[k+ 1 2 ，k+1]

，k∈N^*．----（6分）
且fk(x)=

x+ 1-3k 2 ，x∈(k，k+ 1 2 ]是增函數 2(1-x)+ 3k 2 ， x∈[k+ 1 2 ，k+1]是減函數

．
∴f（x）的第k階階梯函數圖象的最高點為Pk(k+

1

2

，1-

k

2

)，-----（7分）
第k+1階階梯函數圖象的最高點為Pk+1(k+

3

2

，1-

k+1

2

)，
所以過P_kP_k+1這兩點的直線的斜率為-

1

2

．--------（8分）
同理可得過P_k+1P_k+2這兩點的直線的斜率也為-

1

2

．
所以f（x）的各階階梯函數圖象的最高點共線，且直線方程為y-1=-

1

2

(x-

1

2

)，
即 2x+4y-5=0．----（10分）
（3）證明：同理求得最低點：Qk(k+1，

-k

2

)，點Q_k到（2）中的直線L的距離為
d=

|2(k+1)-2k-5|

22+42

=

3 5

10

．-----（12分）

點評：本題主要考查了分段函數的性質，以及函數的單調性和最值，同時考查了分類討論的數學思想和運算求解的能力，屬于中檔題．