Question

【題目】若函數f（x）=x3+a|x2﹣1|，a∈R，則對于不同的實數a，則函數f（x）的單調區間個數不可能是（ ）
A.1個
B.2個
C.3個
D.5個

Answer 1

【答案】B
【解析】解：依題意：（1）當a=0時，f（x）=x3，在（﹣∞，+∞）上為增函數，有一個單調區間①

當a≠0時，∵f（x）=x3+a|x2﹣1|a∈R

∴f（x）=

∴f′（x）= （2）當0＜a＜ 時，∵﹣ ＜﹣ ＜0，0＜ ＜ ，∴導函數的圖象如圖1：（其中m為圖象與x軸交點的橫坐標）

∴x∈（﹣∞，0]時，f′（x）＞0，x∈（0，m）時，f′（x）＜0，x∈[m，+∞）時，f′（x）＞0，

∴f（x）在x∈（﹣∞，0]時，單調遞增，x∈（0，m）時，單調遞減，x∈[m，+∞）時，單調遞增，有3個單調區間②（3）當a≥3時，∵﹣ ＜﹣1， ＞1，∴導函數的圖象如圖2：（其中n為x≤﹣1時圖象與x軸交點的橫坐標）

∴x∈（﹣∞，n]時，f′（x）＞0，x∈（n，﹣1]時，f′（x）＜0，x∈（﹣1，0）時，f′（x）＞0，x∈[0，1）時，f′（x）＜0，x∈[1，+∞）時，f′（x）＞0

∴函數f（x）在x∈（﹣∞，n]時，單調遞增，x∈（n，﹣1]時，單調遞減，x∈（﹣1，0）時，單調遞增，x∈[0，1）時，單調遞減，x∈[1，+∞）時，單調遞增，

有5個單調區間③

由①②③排除A、C、D，

故選B

【考點精析】根據題目的已知條件，利用利用導數研究函數的單調性的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．