Question

已知函數(shù)y＝f(x)是R上的偶函數(shù)，對?x∈R都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立．當(dāng)x1，x2∈[0,2]，且x1≠x2時，都有<0，給出下列命題：

①f(2)＝0；

②直線x＝－4是函數(shù)y＝f(x)圖象的一條對稱軸；

③函數(shù)y＝f(x)在[－4,4]上有四個零點(diǎn)；

④f(2 014)＝0.

其中所有正確命題的序號為________．

 

Answer 1

①②④

【解析】令x＝－2，得f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，解得f(－2)＝0，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為偶函數(shù)，所以f(2)＝0，①正確；因?yàn)?/span>f(－4＋x)＝f(－4＋x＋4)＝f(x)，f(－4－x)＝f(－4－x＋4)＝f(－x)＝f(x)，所以f(－4＋x)＝f(－4－x)，即x＝－4是函數(shù)f(x)的一條對稱軸，②正確；當(dāng)x1，x2∈[0,2]，且x1≠x2時，都有<0，說明函數(shù)f(x)在[0,2]上是單調(diào)遞減函數(shù)，又f(2)＝0，因此函數(shù)f(x)在[0,2]上只有一個零點(diǎn)，由偶函數(shù)知函數(shù)f(x)在[－2,0]上也只有一個零點(diǎn)，由f(x＋4)＝f(x)，知函數(shù)的周期為4，所以函數(shù)f(x)在(2,6]與[－6，－2)上也單調(diào)且有f(6)＝f(－6)＝0，因此，函數(shù)在[－4,4]上只有2個零點(diǎn)，③錯；對于④，因?yàn)楹瘮?shù)的周期為4，即有f(2)＝f(6)＝f(10)＝…＝f(2 014)＝0，④正確．