Question

班主任為了對本班學生的考試成績進行分析，決定從全班25名女同學，15名男同學中隨機抽取一個容量為8的樣本進行分析．
（I）如果按性別比例分層抽樣，男、女生各抽取多少名才符合抽樣要求？
（II）隨機抽出8名，他們的數學、物理分數對應如下表：

學生編號	1	2	3	4	5	6	7	8
數學分數x	60	65	70	75	80	85	90	95
物理分數y	72	77	80	84	88	90	93	95

（i）若規定85分以上（包括85分）為優秀，在該班隨機調查一名同學，他的數學和物理分數均為優秀的概率是多少？
（ii）根據上表數據，用變量y與x的相關系數或散點圖說明物理成績y與數學成績x之間線性相關關系的強弱．如果有較強的線性相關關系，求y與x的線性回歸方程（系數精確到0.01）；如果不具有線性相關關系，說明理由．
參考公式：相關系數；
回歸直線的方程是：，其中，，是與x_i對應的回歸估計值．
參考數據：，，，，，，．

Answer 1

【答案】分析：（I）從全班25位女同學，15位男同學中隨機抽取一個容量為8的樣本進行分析，做出女生和男生在總人數中所占的比例，用比例乘以要抽取的樣本容量，得到結果．
（II）（i）這是一個古典概率，由表中可以看出，所選的8名同學中，數學和物理分數均為優秀的有3人，根據等可能事件的概率公式得到結果．
（ii）首先求出兩個變量的平均數，再利用最小二乘法做出線性回歸方程的系數，把做出的系數和x，y的平均數代入公式，求出a的值，寫出線性回歸方程，得到結果．
解答：解：（Ⅰ）應選女生名，男生名…（2分）
（Ⅱ） （ i）由表中可以看出，所選的8名同學中，數學和物理分數均為優秀的有3人，故所求概率是．…（7分）
（ ii）變量y與x的相關系數是．
可以看出，物理與數學成績高度正相關．…（10分）
設y與x的線性回歸方程是，
根據所給數據可以計算出，a=84.875-0.66×77.5≈33.73，
所以y與x的線性回歸方程是．…（12分）
點評：本題考查線性回歸分析的初步應用，考查分層抽樣，考查條件概率，考查相互獨立事件同時發生的概率，考查利用數學知識解決實際問題的能力，是一個比較好的綜合題目．