Question

【題目】已知函數（x＞0）．

（1）若a＝1，f(x)在（0，＋∞）上是單調增函數，求b的取值范圍；

（2）若a≥2，b＝1，求方程在（0，1]上解的個數．

Answer 1

【答案】（1）．

（2）當a≥3時，≥0，∴g(x)＝0在上有惟一解．

當時，<0，∴g(x)＝0在上無解．

【解析】

解：(1)當a＝1時，

f(x)＝|x－2|＋bln x

①當0<x<2時，f(x)＝－x＋2＋bln x，

f′(x)＝－1＋.

由條件得－1＋≥0恒成立，即b≥x恒成立．

所以b≥2；

②當x≥2時，f(x)＝x－2＋bln x，

f′(x)＝1＋.

由條件得1＋≥0恒成立，即b≥－x恒成立．

所以b≥－2.

因為函數f(x)的圖像在(0，＋∞)上不間斷，綜合①②得b的取值范圍是[2，＋∞)．

(2)令g(x)＝|ax－2|＋ln x－，即

當0<x<時，

g(x)＝－ax＋2＋ln x－，

g′(x)＝－a＋＋.

因為0<x<，所以>，

則g′(x)>－a＋＋＝≥0，

即g′(x)>0，所以g(x)在上是單調增函數；

當x>時，g(x)＝ax－2＋ln x－，

g′(x)＝a＋＋>0，

所以g(x)在上是單調增函數．

因為函數g(x)的圖像在(0，＋∞)上不間斷，所以g(x)在(0，＋∞)上是單調增函數．

因為g＝ln－，

而a≥2，所以ln≤0，則g<0，

g(1)＝|a－2|－1＝a－3.

①當a≥3時，因為g(1)≥0，所以g(x)＝0在(0,1]上有唯一解，即方程f(x)＝解的個數為1；

②當2≤a<3時，因為g(1)<0，所以g(x)＝0在(0,1]上無解，即方程f(x)＝解的個數為0.