Question

【題目】哈三中總務處的老師要購買學校教學用的粉筆，并且有非常明確的判斷一盒粉筆是“優質產品”和“非優質產品”的方法.某品牌的粉筆整箱出售，每箱共有20盒，根據以往的經驗，其中會有某些盒的粉筆為非優質產品，其余的都為優質產品.并且每箱含有0，1，2盒非優質產品粉筆的概率為0.7，0.2和0.1.為了購買該品牌的粉筆，�？倓罩魅卧O計了一種購買的方案：欲買一箱粉筆,隨機查看該箱的4盒粉筆，如果沒有非優質產品，則購買，否則不購買.設“買下所查看的一箱粉筆”為事件，“箱中有件非優質產品”為事件.

（1）求，，；

（2）隨機查看該品牌粉筆某一箱中的四盒，設為非優質產品的盒數，求的分布列及期望；

（3）若購買100箱該品牌粉筆，如果按照主任所設計方案購買的粉筆中，箱中每盒粉筆都是優質產品的箱數的期望比隨機購買的箱中每盒粉筆都是優質產品的箱數的期望大10，則所設計的方案有效.討論該方案是否有效.

Answer 1

【答案】（1），，（2）見解析，（3）該方案無效.

【解析】

（1）表示在“箱中有件非優質產品”的前提下“買下所查看的一箱粉筆”的概率,分別求得結果數,再由古典概型的概率公式求解即可；

（2）由每箱含有0,1,2盒非優質產品粉筆的概率為0.7,0.2和0.1可得可能的取值為0,1,2,由全概率公式求得概率,列得分布列,進而求得期望；

（3）由,即為方案中箱中每盒粉筆都是優質產品的概率；隨機購買的箱中每盒粉筆都是優質產品的概率為,進而使得期望差與10比較即可判斷.

解:（1）由已知,,

（2）可能的取值為0,1,2,

所以,,,

所以隨機變量的分布列為:

	0	1	2

所以.

（3）由（1）知,,

按照設計方案購買的一箱粉筆中,箱中每盒粉筆都是優質產品的概率為,

因為,所以該方案無效.