Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O為AC的中點，PO⊥平面ABCD，PO=2，M為PD的中點．
（1）證明：PB∥平面ACM；
（2）求直線AM與平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析：（1）連接BD，MO，在平行四邊形ABCD中，由O為AC的中點，知O為BD的中點，再由M為PD的中點，知PB∥MO，由此能夠證明PB∥平面ACM．
（2）取DO中點N，連接MN，AN，由M為PD的中點，知MN∥PO，且MN=

1

2

PO=1，由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，故∠MAN是直線AM與平面ABCD所成的角，由此能求出直線AM與平面ABCD所成角的正切值．

解答：（1）證明：連接BD，MO，在平行四邊形ABCD中，
∵O為AC的中點，∴O為BD的中點，
又∵M為PD的中點，
∴PB∥MO，
∵PB?平面ACM，MO?平面ACM，
∴PB∥平面ACM．
（2）解：取DO中點N，連接MN，AN，
∵M為PD的中點，
∴MN∥PO，且MN=

1

2

PO=1，
由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，
∴∠MAN是直線AM與平面ABCD所成的角，
在Rt△DAO中，∵AD=1，AO=

1

2

，∠DAO=90°，∴DO=

5

2

，
∴AN=

1

2

DO=

5

4

，
在Rt△ANM中，tan∠MAN=

MN

AN

=

1

5 4

=

4 5

5

，
即直線AM與平面ABCD所成角的正切值為

4 5

5

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面所成角的正切值的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地化空間問題為平面問題．