Question

如圖，橢圓的左焦點為，過點的直線交橢圓于，兩點．當直線經過橢圓的一個頂點時，其傾斜角恰為．

（Ⅰ）求該橢圓的離心率；
（Ⅱ）設線段的中點為，的中垂線與軸和軸分別交于兩點,
記△的面積為，△（為原點）的面積為，求的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）． （Ⅱ）的取值范圍是．

試題分析：（Ⅰ）解：依題意，當直線經過橢圓的頂點時，其傾斜角為   1分
則 ．                          2分
將  代入 ，
解得 ．                                    3分
所以橢圓的離心率為 ．                     4分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），橢圓的方程可設為．          5分
設，．
依題意，直線不能與軸垂直，故設直線的方程為，將其代入
得 ．            7分
則 ，，
．                     8分
因為 ，
所以 ，．              9分
因為 △∽△，
所以           11分
．                13分
所以的取值范圍是．                   14分
點評：中檔題，求橢圓的標準方程，主要運用了橢圓的幾何性質，a,b,c,e的關系。曲線關系問題，往往通過聯立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。對于三角形面積計算問題，注意應用已有垂直關系及弦長公式。本題應用韋達定理，簡化了解題過程。