Question

定義：區間[m，n]、（m，n]、[m，n）、（m，n）（n＞m）的區間長度為n-m；若某個不等式的解集由若干個無交集的區間的并表示，則各區間的長度之和稱為解集的總長度．已知y=f（x）是偶函數，y=g（x）是奇函數，它們的定義域均為[-3，3]，則不等式f（x）•g（x）＜0解集的總長度的取值范圍是

[0，3]

．

Answer 1

分析：根據函數的奇偶性關系先判斷出f（x）•g（x）＜0解集的總長度至多為3，再舉出具體例子，得到f（x）•g（x）＜0解集的總長度最小是0，即得到答案．

解答：解：∵y=f（x）是偶函數，y=g（x）是奇函數，
∴若x₀∈D，使得f（x₀）•g（x₀）＜0，
則f（-x₀）•g（-x₀）=-f（x₀）•g（x₀）＞0，
∴f（x）•g（x）＜0解集的總長度至多為

3-(-3)

2

=3，
例如f（x）=x²，g（x）=x．
如果函數f（x）•g（x）=0的解集總長度不為0，
則f（x）•g（x）＜0解集的總長度相應減少，直至為0．
∴解集的總長度的取值范圍是[0，3]．
故答案為：[0，3]．

點評：本題以新定義為載體，考查了函數的奇偶性的應用，關鍵是充分理解新定義的本質，再結合具體的例子進行理解，屬于中檔題．