Question

若實數x，y滿足不等式組

y≤1nx 2x-3y-6≤0 x+2y-4≤0

，則z=

y+2

x

的取值范圍是

[

2

3

，e]

．

Answer 1

分析：先畫出滿足約束條件

y≤1nx 2x-3y-6≤0 x+2y-4≤0

的可行域，分析z=

y+2

x

的幾何意義，結合函數的圖象分析出z=

y+2

x

的最值，可得z=

y+2

x

的取值范圍．

解答：解：滿足約束條件

y≤1nx 2x-3y-6≤0 x+2y-4≤0

的可行域如下圖所示：

z=

y+2

x

表示可行域內動點（x，y）與定點（0，-2）連線的斜率
由圖可知過（0，-2）的直線與y=lnx相切時，z=

y+2

x

取最大值
設切點坐標為（m，lnm），則直線的斜率k=y′|_x=m=

1

m

=

lnm+2

m

解得m=

1

e

，此時y′|_x=m=e
即z的最大值為e．
過（0，-2）的直線與2x-3y-6=0重合時，z取最小值

2

3

故z=

y+2

x

的取值范圍是[

2

3

，e]
故答案為：[

2

3

，e]

點評：本題考查的知識點是簡單線性規劃，線性規劃是高考的必考內容，“角點法”是解答此類問題最常用的方法，一定要熟練掌握．