Question

已知函數f(x)=log2(2x-1)，
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷函數f（x）的單調性，并用定義證明．

Answer 1

（1）要使函數f(x)=log2(2x-1)的解析式有意義
自變量必須滿足2^x-1＞0
即2^x＞1=2⁰
∴x＞0，
即f（x）的定義域為{x|x＞0}---------（5分）
（2）f（x）的在定義域內為增函數．理由如下：
設x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
f(x1)-f(x2)=lo

g

(2x1-1)2

-lo

g

(2x2-1)2

=lo

g	2x1-1 2x2-1 2

-----------------（8分）
∵x₂＞x₁＞0
∴2x2＞2x1＞1
∴2x2-1＞2x1-1＞0
∴

2x1-1

2x2-1

＜1------------------------------------（10分）
f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
即函數f（x）為定義域內增函數--------------------（12分）