Question

設函數
（Ⅰ）若函數f（x）在x=3處取得極小值是，求a、b的值；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調遞增區間；
（Ⅲ）若函數f（x）在（﹣1，1）上有且只有一個極值點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

解：（I）∵f'（x）=x²﹣2（a+1）x+4a
∴f'（3）=9﹣6（a+1）+4a=0得
∵解得：b=﹣4
（II）∵f'（x）=x²﹣2（a+1）x+4a=（x﹣2a）（x﹣2）
令f'（x）=0，即x=2a或x=2．
當a＞1時，2a＞2，
∴f'（x）＞0時，x＞2a或x＜2，即f（x）的單調遞增區間為（﹣∞，2）和（2a，+∞）．
當a=1時，f'（x）=（x﹣2）²≥0，即f（x）的單調遞增區間為（﹣∞，+∞）．
當a＜1時，2a＜2，∴f'（x）＞0時，x＜2a或x＞2，
即f（x）的單調遞增區間為（﹣∞，2a）和（2，+∞）．
（Ⅲ）由題意可得：
∴（2a﹣1）（2a+1）＜0
∴
∴a的取值范圍