Question

設函數f(x)=

x2+1

x

(x≠0)
（1）判斷函數f（x）的奇偶性，并證明；
（2）若0＜x＜1，判斷f（x）的單調性，用定義證明，并比較f（sinα）與f(cosα)(0＜α＜

π

2

)的大小．

Answer 1

分析：（1）利用函數奇偶性的定義，判斷函數f（x）的奇偶性；
（2）利用函數的單調性的定義證明即可．

解答：解：（1）函數的定義域關于原點對稱，
因為f(-x)=

x2+1

-x

=-

x2+1

x

=-f(x)，
所以函數f（x）是奇函數．
（2）設0＜x₁＜x₂＜1，
則f(x2)-f(x1)=

x 2 2 +1

x2

-

x 2 1 +1

x1

=(x2-x1)?

x1x2-1

x1x2

，
因為0＜x₁＜x₂0，x₁x₂＜1，
所以f(x2)-f(x1)=(x2-x1)?

x1x2-1

x1x2

＜0，
即f（x₂）＜f（x₁），所以函數在（0，1）上為單調減函數．
當0＜α＜

π

4

時，cosα＞sinα，此時f（sinα）＞f（cosα），
當α=

π

4

時，cosα=sinα，此時f（sinα）=f（cosα），
當

π

4

＜α＜

π

2

時，cosα＜sinα，此時f（sinα）＜f（cosα）．

點評：本題主要考查函數奇偶性的判斷和函數單調性的證明和應用，利用定義法是解決本題的關鍵，要注意對角α進行分類討論，綜合性較強，考查學生的運算能力．