Question

19．如圖，在斜三棱柱中，

，側面與底面ABC所成的二面角為120°，E、F分別是棱的中點.

（Ⅰ）求與底面ABC所成的角；

（Ⅱ）證明//平面；

（Ⅲ）求經過四點的球的體積.

Answer 1

19.（Ⅰ）解：過A₁作A₁H⊥平面ABC，垂足為H.

連結AH，并延長交BC于G，連結EG，于是∠A₁AH為A₁A與底面ABC所成的角

∵∠A₁AB=∠A₁AC

∴AG為∠BAC的平分線。

又∵AB=AC，∴AG⊥BC，且G為BC的中點因此，由三垂線定理，A₁A⊥BC

∵A₁A∥B₁B，且EC∥B₁B   EC⊥BC，于是∠AGE為二面角A-BC-E的平面角，即

∠AGE=120°

由于四邊形A₁AGE為平行四邊形，得

∠A₁AG=60°

所以，A₁A與底面ABC所成的角為60°。

（Ⅱ）證明：設EG與B₁C的交點為P，則點P為EG的中點，連結PF。

 在平行四邊形AGEA₁中，因F為A₁A的中點，故A₁E∥FP.

 而FP平面B₁FC，A₁E平面B₁FC，所以A₁E∥平面B₁FC.

（Ⅲ）解：連結A₁C，在△A₁AC和△A₁AB中，由于AC=AB，           ∠A₁AC=∠A₁AB，A₁A= A₁A，則△A₁AC≌△A₁AB，故A₁C=A₁B.由已知得

A₁A= A₁B=A₁C=a

又∵A₁H⊥平面ABC，∴H為BC的外心.

設所求球的球心為O，則O∈A₁H，且球心O與A₁A中點的連線OF⊥A₁A.

在Rt△A₁FO中，

     A₁O==。

故所求球的半徑R=a. 球的體積

   V=πR³=π（a）³=πa³。