Question

10．設m，n（3≤m≤n）是正整數，數列A_m：a₁，a₂，…，a_m，其中a_i（1≤i≤m）是集合{1，2，3，…，n}中互不相同的元素．若數列A_m滿足：只要存在i，j（1≤i＜j≤m）使a_i+a_j≤n，總存在k（1≤k≤m）有a_i+a_j=a_k，則稱數列A_m是“好數列”．
（Ⅰ）當m=6，n=100時，
（ⅰ）若數列A₆：11，78，x，y，97，90是一個“好數列”，試寫出x，y的值，并判斷數列：11，78，90，x，97，y是否是一個“好數列”？
（ⅱ）若數列A₆：11，78，a，b，c，d是“好數列”，且a＜b＜c＜d，求a，b，c，d共有多少種不同的取值？
（Ⅱ）若數列A_m是“好數列”，且m是偶數，證明：$\frac{{{a_1}+{a_2}+…+{a_m}}}{m}≥\frac{n+1}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）（ⅰ）由“好數列”定義能求出x，y的值，并判斷數列：11，78，90，x，97，y是一個“好數列”．
（ⅱ）由數列必含89，100兩項，若剩下兩項從90，91，…，99中任取，有$C_{10}^2=45$種；若剩下兩項從79，80，…，88中任取一個，有10種．由此分類討論，能求出a，b，c，d共有多少種不同的取值．
（Ⅱ）一個“好數列”各項任意排列后，還是一個“好數列”．設a₁＜a₂＜…＜a_m．把數列配對：${a_1}+{a_m}，{a_2}+{a_{m-1}}，…，{a_{\frac{m}{2}}}+{a_{\frac{m}{2}+1}}$，只要證明每一對和數都不小于n+1即可．例用反證法，能證明$\frac{{{a_1}+{a_2}+…+{a_m}}}{m}≥\frac{n+1}{2}$．

解答 （本小題13分）
解：（Ⅰ）（ⅰ）∵m=6，n=100，數列A₆：11，78，x，y，97，90是一個“好數列”，
∴x=89，y=100，或x=100，y=89，
數列：11，78，90，x，97，y也是一個“好數列”． …（3分）
（ⅱ）由（ⅰ）可知，數列必含89，100兩項，
若剩下兩項從90，91，…，99中任取，則都符合條件，有$C_{10}^2=45$種；
若剩下兩項從79，80，…，88中任取一個，
則另一項必對應90，91，…，99中的一個，有10種；
若取68≤a≤77，則79≤11+a≤88，90≤22+a≤99，“好數列”必超過6項，不符合；
若取a=67，則11+a=78∈A₆，另一項可從90，91，…，99中任取一個，有10種；
若取56＜a＜67，則67＜11+a＜78，78＜22+a＜89，“好數列”必超過6項，不符合；
若取a=56，則b=67，符合條件，
若取a＜56，則易知“好數列”必超過6項，不符合；
綜上，a，b，c，d共有66種不同的取值． …（7分）
證明：（Ⅱ）由（Ⅰ）易知，一個“好數列”各項任意排列后，還是一個“好數列”．
又“好數列”a₁，a₂，…，a_m各項互不相同，所以，不妨設a₁＜a₂＜…＜a_m．
把數列配對：${a_1}+{a_m}，{a_2}+{a_{m-1}}，…，{a_{\frac{m}{2}}}+{a_{\frac{m}{2}+1}}$，
只要證明每一對和數都不小于n+1即可．
用反證法，假設存在$1≤j≤\frac{m}{2}$，使a_j+a_m+1-j≤n，
因為數列單調遞增，所以a_m-j+1＜a₁+a_m-j+1＜a₂+a_m-j+1＜…＜a_j+a_m-j+1≤n，
又因為“好數列”，故存在1≤k≤m，使得a_i+a_m+1-j=a_k（1≤i≤j），
顯然a_k＞a_m+1-j，故k＞m+1-j，所以a_k只有j-1個不同取值，而a_i+a_m+1-j有j個不同取值，矛盾．
所以，${a_1}+{a_m}，{a_2}+{a_{m-1}}，…，{a_{\frac{m}{2}}}+{a_{\frac{m}{2}+1}}$每一對和數都不小于n+1，
故${a_1}+{a_2}+…+{a_m}≥\frac{m}{2}（n+1）$，即$\frac{{{a_1}+{a_2}+…+{a_m}}}{m}≥\frac{n+1}{2}$．…（13分）

點評 本題考查“好數列”的判斷與求法，考查不等式的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意反證法的合理運用．