Question

設函數f（x）=ax²+bx+c（a，b，c為實數，且a≠0），F(x)=

f(x) ，&x＞0 -f(x)，?x＜0.

（1）若f（-1）=0，曲線y=f（x）通過點（0，2a+3），且在點（-1，f（-1））處的切線垂直于y軸，求F（x）的表達式；
（2）在（Ⅰ）在條件下，當時，，求實數k的取值范圍；
（3）設mn＜0，m+n＞0，a＞0，且f（x）為偶函數，證明F（m）+F（n）＞0．

Answer 1

分析：（1）利用f（-1）=0，f'（-1）=0的性質代入函數解析式，再根據函數y=f（x）通過點（0，2a+3），代入函數解析式，解方程組，求出系數a，b，c
（2）由第（1）問得出f（x）=-3x²-6x-3，代入g（x）=kx-f（x），在x∈[-1，1]是單調函數，根據二次函數的單調性-

b

2a

≤-1或-

b

2a

≥1，得出k的取值范圍！
（3）運用偶函數f（x）=f（-x）的定義，求出f（x）=ax²+c，代入F（m）+F（n）整理，分情況討論可得F（m）+F（n）＞0

解答：解：（Ⅰ）因為f（x）=ax²+bx+c，所以f'（x）=2ax+b．
又曲線y=f（x）在點（-1，f（-1））處的切線垂直于y軸，故f'（-1）=0，
即-2a+b=0，因此b=2a．①
因為f（-1）=0，所以b=a+c．②
又因為曲線y=f（x）通過點（0，2a+3），
所以c=2a+3．③
解由①，②，③組成的方程組，得a=-3，b=-6，c=-3．
從而f（x）=-3x²-6x-3．
所以F(x)=

-3(x+1)2 x＞0 3(x+1)2 x＜0.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=-3x²-6x-3，
所以g（x）=kx-f（x）=3x²+（k+6）x+3．
由g（x）在[-1，1]上是單調函數知：-

k+6

6

≤-1或-

k+6

6

≥1，
得k≤-12或k≥0
（Ⅲ）因為f（x）是偶函數，可知b=0．
因此．
又因為mn＜0，m+n＞0，
可知m，n異號．
若m＞0，則n＜0．
則F（m）+F（n）=f（m）-f（n）=am²+c-an²-c=a（m+n）（m-n）＞0．
若m＜0，則n＞0．
同理可得F（m）+F（n）＞0．
綜上可知F（m）+F（n）＞0．

點評：此題第一問需要導數知識，第二問是二次函數問題，第三問考查學生函數的奇偶性和不等式的證明，是一道較好的綜合類題目