Question

10．已知函數f（x）=x³-3x．
（Ⅰ）求函數f（x）在[-2，1]上的最大值和最小值．
（Ⅱ）過點P（2，-6）作曲線y=f（x）的切線，求此切線的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的最大值和最小值即可；
（Ⅱ）欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先設切點坐標為（t，t³-3t），利用導數求出在x=t處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=x³-3x，
f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜1，
故f（x）在[-2，-1）遞增，在（-1，1]遞減，
而f（-2）=-2，f（-1）=2，f（1）=-2，
∴f（x）的最小值是-2，
f（x）的最大值是2；
（Ⅱ）∵f′（x）=3x²-3，
設切點坐標為（t，t³-3t），
則切線方程為y-（t³-3t）=3（t²-1）（x-t），
∵切線過點P（2，-6），∴-6-（t³-3t）=3（t²-1）（2-t），
化簡得t³-3t²=0，∴t=0或t=3．
∴切線的方程：3x+y=0或24x-y-54=0．

點評 本小題主要考查直線的斜率、導數的幾何意義、利用導數研究曲線上某點切線方程等基礎知識，考查運算求解能力．