Question

下列結論中：
①定義在R上的任一函數，總可以表示成一個奇函數與一個偶函數的和；
②若f（3）=f（-3），則函數f（x）不是奇函數；
③對應法則和值域相同的兩個函數的定義域也相同；
④若x₁是函數f（x）的零點，且m＜x₁＜n，那么f（m）•f（n）＜0一定成立．
其中正確的是

①

（把你認為正確的序號全寫上）．

Answer 1

分析：①利用函數奇偶性性質判斷．②根據奇函數的性質判斷．③根據定義域和值域之間的關系判斷．④根據根的存在性定理進行判斷．

解答：解：①設f（x）=g（x）+h（x），其中g（x）為奇函數，h（x）為偶函數，則f（-x）=g（-x）+h（-x）=-g（x）+h（x），
兩式聯立得，g（x）=

f(x)-f(-x)

2

，h(x)=

f(x)+f(-x)

2

，所以①正確．
②若函數f（x）是奇函數，則有f（-3）=-f（3），若f（3）=f（-3），則必有f（3）=f（-3）=0，所以當f（3）=f（-3）=0，函數有可能是奇函數，所以②錯誤．
③當函數的定義域和對應法則相同時，函數的值域相同，但值域相同時，定義域不一定相同，
比如函數f（x）=x²，當定義域為[0，1]時，值域為[0，1]，當定義域為[-1，1]時，值域為[0，1]，所以③錯誤．
④若x₁是函數f（x）的零點，則根據根的存在性定理可知，f（m）•f（n）＜0不一定成立，比如函數f（x）=x²的零點是0，但f（m）•f（n）＞0，所以④錯誤．
故答案為：①

點評：本題主要考查函數的性質和應用，考查函數的奇偶性和根的存在性定理的應用，比較綜合．