Question

（安徽卷理18）如圖，在四棱錐中，底面四邊長

為1的菱形，, , ,為的中點，為的中點

（Ⅰ）證明：直線；

（Ⅱ）求異面直線AB與MD所成角的大小；

（Ⅲ）求點B到平面OCD的距離。

Answer 1

方法一（綜合法）  （1）取OB中點E，連接ME，NE

又

      

  （2）

   為異面直線與所成的角（或其補角）作連接

      

      

       ，

       所以 與所成角的大小為

       （3）點A和點B到平面OCD的距離相等，連接OP,過點A作

 于點Q，

       又 ,線段AQ的長就是點A到平面OCD的距離

       ，

       ，所以點B到平面OCD的距離為

方法二(向量法)作于點P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線為軸建立坐標系

,

(1)

設平面OCD的法向量為,則

即

取,解得

(2)設與所成的角為,

   , 與所成角的大小為

(3)設點B到平面OCD的距離為,則為在向量上的投影的絕對值,

       由 , 得.所以點B到平面OCD的距離為