Question

以F₁、F₂為焦點的橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一動點P，當∠F₁PF₂最大時∠PF₁F₂的正切值為2，則此橢圓離心率e的大小為

 

．

Answer 1

分析：易知當∠F₁PF₂最大時P為橢圓的短軸的端點，∠PF₁F₂的正切值為2，即

b

c

=2，再結合a²=b²+c²求得a，c的關系即可．

解答：解：當∠F₁PF₂最大時P為橢圓與y軸的交點，
∵∠PF₁F₂的正切值為2，即

b

c

=2?b=2c，
∵a²=b²+c²
∴a²=5c²
∴

c2

a2

=

1

5

∴e=

5

5

故答案為：

5

5

．

點評：本題主要考查橢圓的幾何性質，主要是通過焦點三角形，來探討a，b，c的關系來考查離心率等，要注意∠F₁PF₂最從長軸端點向短軸端點移動中變不斷變大，到短軸端點達到最大．