Question

已知函數f(x)=

x3 x+1 ，  ( 1 2 ＜x≤1) - 1 6 x+ 1 12 ， (0≤x≤ 1 2 )

和函數g(x)=asin

π

6

x-a+1(a＞0)，若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，則實數a的取值范圍是（　　）

• A．(

  1

  2

  ，

  3

  2

  ]
• B．[1，2）
• C．[

  1

  2

  ，2]
• D．[1，

  3

  2

  ]

Answer 1

分析：根據已知函數f（x）的定義域，求出其值域，對于g（x）利用導數求出其值域，已知存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂），可知g（x）的最大值大于等于f（x）的最小值，g（x）的最小值小于等于f（x）的最大值；

解答：解：函數f(x)=

x3 x+1 ，  ( 1 2 ＜x≤1) - 1 6 x+ 1 12 ， (0≤x≤ 1 2 )

，
當

1

2

＜x≤1時，f（x）=

x3

x+1

，f′（x）=

3x2(x+1)-x3

(x+1)2

=

2x3+3x2

(x+1)2

＞0，
f（x）為增函數，∴f（

1

2

）＜f（x）≤f（1），
∴f（x）∈（

1

12

，

1

2

]；
當0≤x≤

1

2

時，f（x）=-

1

6

x+

1

12

，為減函數，
∴f（

1

2

）≤f（x）≤f（0），
∴f（x）∈[0，

1

12

]，
綜上：f（x）∈[0，

1

2

]；
函數g(x)=asin

π

6

x-a+1(a＞0)，g′（x）=

aπ

6

cos

π

6

x，0≤

π

6

x≤

π

6

，
∴g′（x）＞0；
g（x）為增函數，g（0）≤g（x）≤g（1），
∴g（x）=[1-a，1-

a

2

]，
∵存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
∴g（x）的最大值大于等于f（x）的最小值，g（x）的最小值小于等于f（x）的最大值，
∴

1- a 2 ≥0 1-a≤ 1 2

解得

1

2

≤a≤2，
故選C；

點評：此題主要考查函數的存在性問題，一般與恒成立問題一個類型，知識點比較全面，是一道中檔題，也是一道好題；