Question

如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為棱BC的中點．在正方體表面ABB₁A₁上是否存在點N，使D₁N⊥平面B₁AE？請說明理由．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的性質

專題：空間位置關系與距離

分析：建立坐標系，求出平面B₁AE的一個法向量，觀察能否找到N點使

D1N

與法向量共線即可．

解答： 解：建立坐標系D-xyz，則A（2，0，0），B₁（2，2，2），E（1，2，0），D₁（0，0，2），設N（2，b，c）
所以

AE

=（-1，2，0），

AB1

=（0，2，2），

D1N

=（2，b，c-2）
設平面B₁AE的一個法向量為

n

=（x，y，z），所以

AE • n =0 AB1 • n =0

，即

-x+2y=0 2y+2z=0

，取y=1，得平面B₁AE的一個法向量

n

=（2，1，-1），
假設在正方體表面ABB₁A₁上存在點N，使D₁N⊥平面B₁AE，則

D1N

∥

n

，所以b=2-c，取c=1則b=1，
所以假設正確，在正方體表面ABB₁A₁上存在點N，使D₁N⊥平面B₁AE．

點評：本題考查了利用空間向量求平面的法向量，借助于向量垂直的性質解答，體現了向量的工具性．