Question

設D是棱長為4的正四面體P₁P₂P₃P₄及其內部的點構成的集合，點P₀是正四面體P₁P₂P₃P₄的中心，若集合S={P∈D||PP₀|≤|PP_i|，i=1，2，3，4}，則集合S表示的區域的體積是

101 2

24

．

Answer 1

分析：由集合S={P|P∈D，|PP₀|≤|PP_i|，i=1，2，3，4}，則P點應位于過P₀P_i的中點的四個垂面及正四面體的四個側面之內，又由D是正四面體及其內部的點構成的集合，我們易畫出滿足條件的圖象，并判斷其形狀，最后由正四面體的體積減去四個小正四面體的體積即可．

解答：解：如圖所示，

分別作出過P₀P₁、P₀P₂、P₀P₃、P₀P₄的中點的且與各線段垂直的面，
不妨設P₀P₁的垂面為ABC，垂足為H，若|PP₀|=|PP₁|，則點P在面ABC上，若|PP₀|≤|PP₁|，則點P在面ABC的與P₀位置相同的一側．同理其它四個面也是，
則P點應位于四個垂面及正四面體所圍成的區域內，
集合S表示的區域的體積是正四面體的體積減去四個相等的小正四面體的體積．
因為正四棱錐的棱長等于4，所以高為

4 6

3

，
所以P₀P₁=

3

4

×

4

3

6

=

6

，所以四面體P₁-ABC的地面ABC上的高P1H=

6

2

，
設四面體P₁-ABC的棱長為a，則a=

3

2

，
所以VP1-ABC=

1

3

×

1

2

×

3

2

×

3 3

4

×

6

2

=

9 2

32

，
則集合S表示的區域的體積V=

1

3

×

1

2

×4×2

3

×

4 6

3

-4×

9 2

32

=

101 2

24

．
故答案為

101 2

24

．

點評：本題考查的知識點是不等式表示的平面區域，根據|PP₀|≤|PP_i|，畫出滿足條件的圖形是解答本題的關鍵，此題是中檔題．