Question

已知正三棱錐P-ABC，點P，A，B，C都在半徑為

3

的球面上，若PA，PB，PC兩兩互相垂直，則球心到截面ABC的距離為（　　）

• A．

  3

  3

• B．

  2

  3

• C．

  3

  4

• D．

  2

  4

Answer 1

分析：先利用正三棱錐的特點，將球的內接三棱錐問題轉化為球的內接正方體問題，從而將所求距離轉化為正方體中，中心到截面的距離問題，利用等體積法可實現此計算

解答：解：∵正三棱錐P-ABC，PA，PB，PC兩兩垂直，
∴此正三棱錐的外接球即以PA，PB，PC為三邊的正方體的外接圓O，
∵圓O的半徑為

3

，
∴正方體的邊長為2，即PA=PB=PC=2
球心到截面ABC的距離即正方體中心到截面ABC的距離
設P到截面ABC的距離為h，則正三棱錐P-ABC的體積V=

1

3

S_△ABC×h=

1

3

S_△PAB×PC=

1

3

×

1

2

×2×2×2=

4

3

△ABC為邊長為2

2

的正三角形，S_△ABC=

1

3

×

3

4

×（2

2

）²=

2 3

3

∴h=

V

S△ABC

=

4 3

2 3 3

=

2 3

3

∴球心（即正方體中心）O到截面ABC的距離為

3

-

2 3

3

=

3

3

故選A

點評：本題主要考球的內接三棱錐和內接正方體間的關系及其相互轉化，棱柱的幾何特征，球的幾何特征，點到面的距離問題的解決技巧，有一定難度，屬中檔題