Question

已知半徑為的圓的圓心在軸上，圓心的橫坐標是整數，且與直線相切．

（1）求圓的方程；

（2）設直線與該圓相交于兩點，求實數的取值范圍；

（3） 在（2）的條件下，是否存在實數，使得過點的直線垂直平分弦？若存在，求出實數的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設圓心為（）．

由于圓與直線相切，且半徑為，所以，

即．

因為為整數，故．

故所求的圓的方程是．

（2）直線即．代入圓的方程，消去整理，得

．

由于直線交圓于兩點，故，

即，解得 ，或.

所以實數的取值范圍是.

（3）設符合條件的實數存在，由（2）得，則直線的斜率為，

的方程為， 即．

由于垂直平分弦，故圓心必在上．

所以，解得．[來源:學§科§網Z§X§X§K]

由于，

故存在實數，使得過點的直線垂直平分弦．