【題目】在如圖所示的幾何體中， 
， 
， 
平面
，在平行四邊形
中， 
， 
， 
．
（1）求證： 
平面
；
（2）求二面角
的余弦值．
【答案】（1）見解析（2）
【解析】【試題分析】（1）連接
交
于
，取
中點
，連接
， 
，利用中位線證明
，四邊形
為平行四邊形，從而
，由此證得
平面
.（2）以
為原點， 
， 
， 
的方向為
軸， 
軸， 
軸的正方向建立空間直角坐標系，通過計算平面
和平面
的法向量來求二面角的余弦值.
【試題解析】
（1）證明：連接
交
于
，取
中點
，連接
， 
，
因為
， 
，又
， 
所以
， 
，從而
， 
平面
， 
平面
，
所以
平面
．
（2）在平行四邊形
中，由于
， 
， 
，則
，又
平面
，則以
為原點， 
， 
， 
的方向為
軸， 
軸， 
軸的正方向建立空間直角坐標系
，則
， 
， 
， 
， 
，
則
， 
， 
，
設平面
的一個法向量為
，
則由
令
，得
， 
，所以
，
，設平面
的一個法向量為
，
則由
即
令
，得
， 
，所以
，
，所以
，
所以所求二面角的余弦值為
．
心算口算巧算一課一練系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左、右焦點分別為
，離心率
，過
且與
軸垂直的直線與橢圓
在第一象限內的交點為
，且
.
(1)求橢圓
的方程；
(2)過點
的直線
交橢圓
于
兩點，當
時，求直線
的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，長方體
中， 
， 
，點
， 
， 
分別為
， 
， 
的中點，過點
的平面
與平面
平行，且與長方體的面相交，交線圍成一個幾何圖形.
（1）在圖中畫出這個幾何圖形（說明畫法，不需要說明理由）；
（2）求二面角
的余弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】把2支相同的晨光簽字筆,3支相同英雄鋼筆全部分給4名優秀學生,每名學生至少1支,則不同的分法有（ ）
A. 24種 B. 28種 C. 32種 D. 36種
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】第三屆移動互聯創新大賽，于2017年3月～10月期間舉行，為了選出優秀選手，某高校先在計算機科學系選出一種子選手
，再從全校征集出3位志愿者分別與
進行一場技術對抗賽，根據以往經驗， 
與這三位志愿者進行比賽一場獲勝的概率分別為
，且各場輸贏互不影響.
（1）求甲恰好獲勝兩場的概率；
（2）求甲獲勝場數的分布列與數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
的圖象與
軸正半軸交點的橫坐標依次構成一個公差為
的等差數列，把函數
的圖象沿
軸向右平移
個單位，得到函數
的圖象，則下列敘述不正確的是（ ）
A. 
的圖象關于點
對稱 B. 
的圖象關于直線
對稱
C. 
在
上是增函數 D. 
是奇函數
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，底面半徑為
，母線長為
的圓柱的軸截面是四邊形
，線段
上的兩動點
， 
滿足
.點
在底面圓
上，且
， 
為線段
的中點.
(Ⅰ)求證： 
平面
；
(Ⅱ)四棱錐
的體積是否為定值，若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.
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