Question

已知定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）的偶函數g（x）在（-∞，0）內為單調遞減函數，且g（x•y）=g（x）+g（y）對任意的x，y都成立，g（2）=1．
（1）證明g（x）在（0，+∞）內為單調遞增函數
（2）求g（4）的值；
（3）求滿足條件g（x）＞g（x+1）+2的x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設0＜x₁＜x₂，則0＞-x₁＞-x₂，利用偶函數的關系式和單調性進行轉化，得到g（x₁）＜g（x₂），即得證；
（2）由g（x•y）=g（x）+g（y）對任意的x，y都成立及g（2）=1，取x=y=2可求g（4）；  
（3）結合（2）和已知把不等式化為g（x）＞g[4（x+1）]，g（x）為偶函數，且在（-∞，0）為單調遞減函數，可得g（x）在（0，+∞）為單調遞增函數．從而可得|x|＞4|x+1|，|x+1|≠0，解不等式可求x的取值范圍．

解答：解：（1）設0＜x₁＜x₂，則0＞-x₁＞-x₂，
∵g（x）在（-∞，0）為單調遞減函數，∴g（-x₁）＞g（-x₂），
∵g（x）為偶函數，∴-g（x₁）＞-g（x₂），即g（x₁）＜g（x₂），
∴g（x）在（0，+∞）為單調遞增函數．
（2）令x=y=2代入g（x•y）=g（x）+g（y）得，
g（4）=g（2×2）=g（2）+g（2）=2，
（3）∵g（x）＞2+g（x+1）=g（4）+g（x+1）=g[4（x+1）]
∵g（x）為偶函數，∴g（|x|）＞g[|4（x+1）|]
由（1）得，g（x）在（0，+∞）為單調遞增函數，
∴

x≠0 x+1≠0 |x|＞|4(x+1)|

解得-

4

3

＜x＜-1或-1＜x＜-

4

5

，
綜上x的取值范圍為(-

4

3

，-1)∪(-1，

4

5

)．

點評：本題考查了利用賦值法求解抽象函數的函數值，偶函數在對稱區間上的單調性的證明，解決本題的關鍵是由偶函數y=g（x）在（0，+∞）單調遞增，g（a）＞g（b）可得|a|＞|b|，考生容易漏函數的定義域，從而誤寫為a＞b．