Question

如圖是在一個半球上面放一個圓錐，其中圓錐的底面與半球的底面重合，且圓錐的體積與半球體積相等，則圓錐的軸截面兩條母線的夾角為

arccos

3

5

．（結果用反三角函數表示）

Answer 1

分析：先設圓錐的半徑為R，高為H，母線與軸所成角為θ，求出圓錐的高，然后利用體積相等建立等式關系，求出2θ的余弦值，最后用反三角表示即可．

解答：解：設圓錐的半徑為R，高為H，母線與軸所成角為θ，則圓錐的高 H=R•cotθ
圓錐的體積 V₁=

1

3

πR²•H=

1

3

πR³cotθ
半球的體積 V₂=

2

3

πR³
∵V₁=V₂即：

1

3

πR³cotθ=

2

3

πR³
∴cotθ=2
∴cos2θ=

3

5

即圓錐的軸截面兩條母線的夾角為arccos

3

5

故答案為：arccos

3

5

．

點評：本題考查旋轉體圓錐、球的體積，以及三角函數的求值，考查計算能力，屬于基礎題．