Question

已知函數f（x）滿足f（x+y）=f（x）+f（y）對任意x、y∈R恒成立，在R上單調遞減．
（1）求證：f（x）是奇函數；
（2）若對一切x∈[

π

4

，

π

2

]，關于x的不等式f[2sin2(

π

4

+x)]-f(

3

cos2x)-f(m)＜0恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（x+y）=f（x）+f（y）對任意x、y∈R恒成立，利用賦值法：令x=y=0可可求f（0）=0，令y=-x可得f（0）=f（x）+f（-x）=0，從而可證
（2）由函數f（x）是奇函數及f[2sin2(

π

4

+x)]-f(

3

cos2x)-f(m)＜0和f（x+y）=f（x）+f（y）得f[2sin2(

π

4

+x)]＜f(

3

cos2x+m)，結合函數f（x）是R上的減函數 可得2sin2(

π

4

+x)-

3

cos2x＞m對一切x∈[

π

4

，

π

2

]恒成立，則m＜2sin2x(x+

π

4

)-

3

cos2x的最小值，結合已知x的范圍及賦值角公式可求

解答：.證明：（1）∵f（x+y）=f（x）+f（y）對任意x、y∈R恒成立
令x=y=0可得，f（0）=2f（0）
∴f（0）=0
令y=-x
∴f（0）=f（x）+f（-x）=0
∴f（-x）=-f（x）
∴函數f（x）是奇函數；（4分）
（2）∵函數f（x）是奇函數
由f[2sin2(

π

4

+x)]-f(

3

cos2x)-f(m)＜0
得f[2sin2(

π

4

+x)]＜f(

3

cos2x)+f(m)
即f[2sin2(

π

4

+x)]＜f(

3

cos2x+m)（6分）
又∵f（x）是R上的減函數 2sin2(

π

4

+x)＞

3

cos2x+m（8分）
即2sin2(

π

4

+x)-

3

cos2x＞m對一切x∈[

π

4

，

π

2

]恒成立
2sin2(

π

4

+x)-

3

cos2x=2sin(2x-

π

3

)+1（10分）

當x∈[

π

4

，

π

2

]時，2x-

π

3

∈[

π

6

，

2π

3

]，sin(2x-

π

3

)∈[

1

2

，1]（12分）
2sin(2x-

π

3

)+1的最小值為2，
∴m＜2（14分）

點評：本題主要考查了利用賦值法求解抽象函數的函數值及證明函數的奇偶性，函數的奇偶性與函數的單調性的知識綜合求解參數的范圍，要注意函數的恒成立問題與函數的最值的轉化．