Question

請考生在下列兩題中任選一題作答．若兩題都做，則按做的第一題評閱計分．
（1）已知曲線C₁、C₂的極坐標方程分別為，，則曲線C₁上的點與曲線C₂上的點的最遠距離為________．
（2）設a=，b=p，c=x+y，若對任意的正實數x，y，都存在以a，b，c為三邊長的三角形，則實數p的取值范圍是________．

Answer 1

曲線C₁極坐標方程為，即ρ=2sinθ，ρ²=2ρsinθ
化為直角坐標方程為x²+y²-2y=0．即x2+（y-1）2=1．
表示以C（0，1）為圓心，半徑為1 的圓．
C₂的極坐標方程為，，即ρ（cosθ+sinθ）+1=0，
化為普通方程為x+y+1=0，表示一條直線
如圖，圓心到直線距離d=|CQ|=，曲線C₁上的點與曲線C₂上的點的最遠距離為|PQ|=d+r=+1
（2）對于正實數x，y，由于a=，c=x+y≥2，b=p，且三角形任意兩邊之和大于第三邊，所以+2 ＞b=p，且p+＞2，p+2＞，．
解得 1＜p＜3，故實數p的取值范圍是（1，3），
故答案為：+1，（1，3）．
分析：（1）先將曲線的極坐標方程方程化為普通方程，曲線C1的普通方程為x2+y2=2y，即x2+（y-1）2=1．表示以C（0，1）為圓心，半徑為1 的圓．曲線C2的普通方程為x+y+1=0，表示一條直線．利用直線和圓的位置關系求解．
（2）由基本不等式可得a≥，c≥2 ，再由三角形任意兩邊之和大于第三邊可得，+2 ＞b=p，且p+＞2，p+2＞，由此求得實數p的取值范圍．
點評：（1）本題以曲線參數方程出發，考查了極坐標方程、普通方程間的互化，直線和圓的位置關系．（2）本題主要考查基本不等式的應用，注意不等式的使用條件，以及三角形中任意兩邊之和大于第三邊，屬于中檔題．