Question

已知向量=（sin2x，-f（x）），=（-m，cos²x+m-）（m∈R） 且與互為相反向量．
（1）求f（x）的表達式；
（2）若x∈[0，），f²（x）-λf（x）+1的最小值為-2，求實數λ的值．

Answer 1

解：（1）由與互為相反向量可得 m=sin2x，f（x）=cos²x+m-，
∴f（x）=+sin2x-=sin（2x+）．
（2）∵x∈[0，），∴2x+∈[，），∴≤sin（2x+）≤1，即f（x）∈[，1]．
令 h=f²（x）-λf（x）+1，當＜時，則h在[，1]上是增函數，則f（x）=時，h取得最小值為-2，
故 -λ+1=-2，解得 λ= （舍去）．
當 ≤≤1時，f（x）=時，h取得最小值為-2，即 =-2，解得λ=±2（舍去）．
當 ＞1時，h在[，1]上是減函數，f（x）=1 時，h取得最小值為 1-λ+1=-2，解得 λ=4．
綜上可得，λ=4．
分析：（1）由與互為相反向量可得 m=sin2x，f（x）=cos²x+m-，化簡可得f（x）的解析式．
（2）根據x∈[0，），可得f（x）∈[，1]，令 h=f²（x）-λf（x）+1，利用二次函數的性質求得h的最小值，再由最小值為-2求得實數λ的值．
點評：本題主要考查兩角和差的正弦公式，二倍角的余弦公式，求二次函數在閉區間上的最值，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．