Question

如圖，在直角坐標系xOy中，有一組底邊長為a_n的等腰直角三角形A_nB_nC_n（n=1，2，3，…），底邊B_nC_n依次放置在y軸上（相鄰頂點重合），點B₁的坐標為（0，b），b＞0．
（1）若A₁，A₂，A₃，…，A_n在同一條直線上，求證：數列{a_n}是等比數列；
（2）若a₁是正整數，A₁，A₂，A₃，…，A_n依次在函數y=x²的圖象上，且前三個等腰直角三角形面積之和不大于

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2

，求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）先分析A_n 點的坐標，借助于A₁，A₂，A₃，…，A_n在同一條直線上，得到斜率相等，從而得出a₂ⁿ=a_n-1a_n+1，故可證數列 {a_n}是等比數列；（2）由題意b+a1+a2+…+an-1+

an

2

=

a n 2

4

，進而再寫一式兩式作差，可得a_n-a_n-1=2，從而可求數列{a_n}的通項公式．

解答：解：（1）A_n 點的坐標為An(

an

2

，b+a1+a2+…+an-1+

an

2

)，
  根據kAnAn-1=kAnAn1，則

an+1 2 + an 2

an+1 2 - an 2

=

an 2 + an-1 2

an 2 - an-1 2

，∴a_n²=a_n-1a_n+1，所以數列 {a_n}是等比數列．         
（2）依題意，b+a1+a2+…+an-1+

an

2

=

a 2 n

4

，b+a1+a2+…+an-2+

an-1

2

=

a 2 n-1

4

兩式作差，則有：

an

2

+

an-1

2

=

1

4

(

a

2 n

-

a

2 n-1

)，∴a_n-a_n-1=2
，又前三個等腰直角三角形面積之和不大于

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2

，故a₁²+（a₁+2）²+（a₁+4）²≤86，∴a₁=1，2，3
A₁在函數y=x²的圖象上∴b+

a1

2

=(

a1

2

)2，b＞0∴a₁=3，數列{a_n}的通項公式∴a_n=2n+1

點評：本題求解的關鍵是題意得挖掘，利用點共線，轉化為斜率相等，利用前三個等腰直角三角形面積之和不大于

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2

，尋求數列的通項