Question

【題目】設函數，

（1）若，討論函數的單調性；

（2）若，在定義域內存在，使得，求證：；

（3）記為的反函數，當時，求證：

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

（1）由題意對函數求導，按照、、分類討論，解出、的解集即可得解；

（2）求導后，根據函數的單調性可得，令，求導后可證明當時，，進而可得，再由函數的單調性即可得證；

（3）令，求導可得當時，即，作差后放縮即可得證.

（1）由題意，

則，

令，則，，

當時，，，此時，

故函數在，上單調遞增；

當時，，

故函數在上單調遞增；

當時，，

當時，，函數單調遞增；

當時，，函數單調遞減；

綜上，當時，函數在，上單調遞增；當時，函數在上單調遞增；當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減；

（2）證明：由題意，則，

所以當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增；

所以，

令，

則，

可知當時，單調遞減，

又，所以當時，，單調遞增，

又，所以當時，，

所以，所以，

由可得，

所以；

（3）證明：由題意，則原不等式可化為，

令，則，

所以在上單調遞減，所以，

所以當時，即，

所以，

所以即.