Question

已知函數f(x)=x³-3x.

(1)求函數f(x)在［-3，］上的最大值和最小值；

(2)過點P(2，-6)作曲線y=f(x)的切線，求此切線的方程.

Answer 1

解：(1)f′(x)=3(x²-1)=3(x+1)(x-1),                                         

當x∈［3，-1］或x∈(1,)時，f′(x)＞0,

∴［-3，-1］、［1，］為函數f(x)的單調增區間.                             

當x∈(-1,1)時，f′(x)＜0,

∴［-1,1］為函數f(x)的單調減區間.4分

又∵f(-3)=-18,f(-1)=2,f(1)=-2,f()=-,∴當x=-3時，f(x)取得最小值-18;        

當x=-1時，f(x)取得最大值2.                                             

(2)設切點為Q(x₀,-3x₀),則所求切線方程為y-(-3x₀)=3(-1))(x-x₀).         

由于切線過點P(2，-6)，因此-6-(-3x₀)=3(-1)(2-x₀),解得x₀=0或3.           

∴所求切線方程為y=-3x或y+6=24(x-2)，即3x+y=0或24x-y-54=0.