Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別是正方形ADD₁A₁和ABCD的中心，G是CC₁的中點，設(shè)GF，C₁E與AB所成的角分別為α，β，則α+β=

90°

．

Answer 1

分析：本題適合建立空間坐標(biāo)系得用向量法解決這個立體幾何問題，建立空間坐標(biāo)系，給出有關(guān)點的坐標(biāo)，求出直線的GF、C₁E與AB的方向向量，利用夾角公式求線線角的余弦值即可．

解答：解：建立坐標(biāo)系如圖，
B（2，0，0），A（2，2，0），G（0，0，1），F(xiàn)（1，1，0），C₁（0，0，2），E（1，2，1）．
則

BA

=（0，2，0），

GF

=（1，1，-1），

C1E

=（1，2，-1），
∴cos＜

BA

，

GF

＞=

BA • GF

| BA |×|  GF |

=

2

2× 3

=

1

3

，
同理cos＜

BA

，

C1E

＞=

2

3

，
∴cosα=

1

3

，sinα=

2

3

，
cosβ=

2

3

，sinβ=

1

3

，
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=

1

3

•

2

3

-

2

3

•

1

3

=0
∴α+β=90°，
故答案為：90°．

點評：考查用空間向量為工具解決立體幾何問題，此類題關(guān)鍵是找清楚線的方向向量，最后利用夾角公式計算．