Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱長均為2，側棱BB₁與底面ABC所成角為，且側面ABB₁A₁⊥底面ABC．
（1）證明：點B₁在平面ABC上的射影O為AB的中點；
（2）求二面角C-AB₁-B的大小．

Answer 1

解：（1）過B₁點作B₁O⊥BA于點O．
∵側面ABB₁A₁⊥底面ABC，側面ABB₁A₁∩底面ABC=AB，
∴B₁O⊥面ABC，
∴∠B₁BA是側面BB₁與底面ABC所成的角，可得∠B₁BO=
在Rt△B₁OB中，BB₁=2，∴BO=BB₁cos=1
又∵BB₁=AB=2，∴BO=AB
∴O是AB的中點，可得點B₁在平面ABC上的射影O為AB的中點
（2）連接AB₁，過點O作OM⊥AB₁，連線CM、OC，
∵正三角形ABC中，O是AB的中點，∴OC⊥AB，
∵平面ABC⊥平面AA₁BB₁，平面ABC∩平面AA₁BB₁=AB
∴OC⊥平面AA₁B₁B，可得OM是斜線CM在平面AA₁B₁B的射影
∵OM⊥AB₁，∴AB₁⊥CM，可得∠OMC是二面角C-AB₁-B的平面角
∵等邊三角形ABC中，OC=BCsin60°=．Rt△AOB₁中，OM=OAsin60°=，
∴在Rt△OCM中，，可得∠OMC=arctan2．
∴二面角C-AB₁-B的大小為arctan2
分析：（1）過B₁點作B₁O⊥BA于點O．由面面垂直的性質定理，可得B₁O⊥面ABC，所以∠B₁BA是側面BB₁與底面ABC所成的角，∠B₁BO=．在Rt△B₁OB中，BO=BB₁cos=1=AB，所以O是AB的中點，即點B₁在平面ABC上的射影O為AB的中點；
（2）連接AB₁，過點O作OM⊥AB₁，連線CM、OC．正三角形ABC的中線OC⊥AB，結合平面ABC⊥平面AA₁BB₁，得到OC⊥平面AA₁B₁B，結合三垂線定理可得AB₁⊥CM，所以∠OMC是二面角C-AB₁-B的平面角．最后在在Rt△OCM中求出OC、OM的長，利用直角三角形三角函數的定義，可得tan∠OMC=2，即得二面角C-AB₁-B的大小為arctan2．
點評：本題給出特殊的三棱柱，證明直線與平面垂直并求平面與平面所成的角，著重考查了平面與平面垂直的性質和二面角的平面角及求法等知識，屬于中檔題．