Question

已知雙曲線C：=1，將C按向量a=(λ+5,λ²)平移，C的左焦點(diǎn)為P.

(1)求P的軌跡方程E；

(2)若曲線E的圖象上存在點(diǎn)A、B，關(guān)于直線y=k(x+)對(duì)稱，求斜率k的取值范圍.

Answer 1

解：(1)由已知可求得雙曲線左焦點(diǎn)為F(-5,0)

按a平移后為P，則+a(x,y)=(-5+λ+5,λ²)y=x².            

(2)設(shè)與已知直線y=k(x+)垂直的直線為y=x+t(t為截距),

x+t=x²x²+x-t=0,

Δ=+4t＞0t＞                       ①

設(shè)點(diǎn)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂).

則x₁+x₂=,代入直線y=kx+t得+t.

所以AB中點(diǎn)為(+t)，由對(duì)稱性則將此坐標(biāo)代入直線y=k(x+)得

+t=k()t=2代入①得

3k³-2k²-1＞0(k-1)(3k²+k+1)＞0,

其中方程3k²+k+1=0的Δ=1-12＜0,則恒有3k²+k+1＞0,

則得k＞1,

所以E上存在A、B關(guān)于直線y=k(x+)對(duì)稱時(shí)，k的取值范圍是k∈(1,＋∞).