Question

（07年湖北卷文）(12分)

某商品每件成本9元，售價(jià)為30元，每星期賣(mài)出432件，如果降低價(jià)格，銷(xiāo)售量可以增加，且每星期多賣(mài)出的商品件數(shù)與商品單價(jià)的降低值（單位：元，）的平方成正比，已知商品單價(jià)降低2元時(shí)，一星期多賣(mài)出24件．

（I）將一個(gè)星期的商品銷(xiāo)售利潤(rùn)表示成的函數(shù)；

（II）如何定價(jià)才能使一個(gè)星期的商品銷(xiāo)售利潤(rùn)最大？

Answer 1

本小題主要考查根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型，以及運(yùn)用函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力．

解析：（Ⅰ）設(shè)商品降價(jià)元，則多賣(mài)的商品數(shù)為，若記商品在一個(gè)星期的獲利為，

則依題意有，

又由已知條件，，于是有，

所以．

（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ），我們有．

		2		12
		0		0
		極小		極大

故時(shí)，達(dá)到極大值．因?yàn)?IMG height=21 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090325/20090325092234018.gif' width=83>，，所以定價(jià)為元能使一個(gè)星期的商品銷(xiāo)售利潤(rùn)最大．