Question

已知F₁、F₂是橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點，O為坐標原點，橢圓上的點到焦點距離的最大值為+1，最小值為-1
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）已知⊙O是以F₁F₂為直徑的圓，一直線l：y=kx+m與⊙O相切，與橢圓C交于不同的兩點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），且滿足≤x₂•x₂+y₁•y₂≤，求△AOB面積S的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題設知，解得，c=1，由此能求出橢圓的標準方程．
（Ⅱ）由圓O與直線l相切，知m²=k²+1．由，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，由直線l與橢圓交于兩個不同的點，知k²＞0．由韋達定理知，由≤x₂•x₂+y₁•y₂≤，知，所以==，由此能求出△AOB面積S的最大值．
解答：解：（Ⅰ）由題設知，
解得，c=1，
∴b²=1．
∴橢圓的標準方程為．
（Ⅱ）∵圓O與直線l相切，
∵，
∴m²=k²+1．
由，消去y，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
∵直線l與橢圓交于兩個不同的點，
∴△=（4km）²-4（1+2k²）（2m²-2）＞0，
∴k²＞0．
，=，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=，
，
∵≤x₂•x₂+y₁•y₂≤，
∴，
∴，
∴
=
=，
設μ=k⁴+k²，則，
，
∵S關于上單調遞增，
∴△AOB面積S的最大值為．
點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，圓的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．