Question

已知(

x

2

-

1

3 x

)n各項展開式的二項式系數之和為256．
（Ⅰ）求n；
（Ⅱ）求展開式的常數項．

Answer 1

分析：（1）根據題意，由二項式定理可得2ⁿ=256，解可得n的值；
（2）由二項式定理可得，(

x

2

-

1

3 x

)n展開式的通項為T_r+1=C₈^r（

x

2

）^8-r•（-

1

3 x

）^r=（-1）^r•C₈^r（

1

2

）^r•x8-

4r

3

；要求常數項，令8-

4r

3

=0，可得r=6，則常數項為T₇，將r=6代入可得答案．

解答：解：（1）根據題意，(

x

2

-

1

3 x

)n展開式的二項式系數為256，
由二項式定理可得2ⁿ=256，解可得n=8；
（2）由二項式定理可得，(

x

2

-

1

3 x

)n展開式的通項為T_r+1=C₈^r（

x

2

）^8-r•（-

1

3 x

）^r=（-1）^r•C₈^r（

1

2

）^r•x8-

4r

3

；
令8-

4r

3

=0，可得r=6，
則常數項為T₇=

C

6 8

(

1

2

)2(-1)6=7．

點評：本題考查二項式定理的應用，要牢記二項式（x+y）ⁿ中，其二項式系數之和為2ⁿ．