Question

已知向量

a

=（1，-2），

b

=（2，3）．
（1）若

a

與

b

夾角為θ，求cosθ；
（2）若(3

a

-

b

)∥(

a

+k

b

)，求k的值；
（3）若(3

a

-

b

)⊥(  

a

+k

b

)，求k的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，求出數(shù)量積，利用cosθ=

a • b

| a || b |

，求解即可；
（2）求出3

a

-

b

，

a

+k

b

，通過(3

a

-

b

)∥(

a

+k

b

)，直接求k的值；
（3）求出3

a

-

b

，

a

+k

b

，通過(3

a

-

b

)⊥(  

a

+k

b

)，直接求k的值．

解答：解：（1）因?yàn)橄蛄?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">

a

=（1，-2），

b

=（2，3）．

a

與

b

夾角為θ，所以

a

•

b

=2-6=-4，
所以cosθ=

a • b

| a || b |

=

-4

5 • 13

=-

4 65

65

；
（2）因?yàn)橄蛄?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">

a

=（1，-2），

b

=（2，3）．
所以3

a

-

b

=（1，-9）；

a

+k

b

=（1+2k，-2+3k），
因?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">(3

a

-

b

)∥(

a

+k

b

)，
∴-9（1+2k）+2-3k=0，解得k=-

1

3

；
（3）由（2）可知3

a

-

b

=（1，-9）；

a

+k

b

=（1+2k，-2+3k），
 因?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">(3

a

-

b

)⊥(  

a

+k

b

)，
所以1+2k+（-9）（-2+3k）=0，解得k=

19

25

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的基本運(yùn)算，向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查向量的平行與垂直，考查計(jì)算能力．