Question

已知數列{a_n}滿足遞推式a_n=2a_n-1+1（n≥2），其中a₃=7
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）已知數列（b_n}滿足b_n=

n

an+1

，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）a_n=2a_n-1+1兩邊同時加上1，構造出數列{a_n+1}是以2為公比的等比數列，通過數列{a_n+1}的通項公式求出
{a_n}的通項公式
（2）由（1）求得b_n=

n

an+1

=

n

2n

，利用錯位相消法求和即可．

解答：解：（1）由已知，a₃=2a₂+1，得a₂=3，同理得a₁=1
在a_n=2a_n-1+1兩邊同時加上1，得出a_n+1=2（a_n-1+1），所以數列{a_n+1}是以2為公比的等比數列，
 首項為a₁+1=2故a_n+1=2×2^n-1=2ⁿ
化簡得數列{a_n}的通項公式為a_n=2ⁿ-1．
（2）b_n=

n

an+1

=

n

2n

Sn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

①

1

2

Sn=

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

②
①-②得

1

2

Sn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

故Sn=2-

n+2

2n

點評：本題考查數列的遞推公式和通項公式，錯位相消法求和計算，考查轉化計算，構造能力．