Question

如圖，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點F₁、F₂為頂點的三角形的周長為4(+1)。一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設P為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線PF₁和PF₂與橢圓的交點分別為A、B和C、D，
(Ⅰ)求橢圓和雙曲線的標準方程；
(Ⅱ)設直線PF₁、PF₂的斜率分別為k₁、k₂，證明：k₁·k₂=1；
(Ⅲ)是否存在常數(shù)λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)設橢圓的半焦距為c，由題意知：，
所以，
又a²=b²+c²，因此b=2，
故橢圓的標準方程為，
由題意設等軸雙曲線的標準方程為，
因為等軸雙曲線的頂點是橢圓的焦點，所以m=2，
因此雙曲線的標準方程為。
(Ⅱ)設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），
則，
因為點P在雙曲線x²-y²=4上，所以x₀²-y₀²=4，
因此，即k₁k₂=1。
(Ⅲ)由于PF₁的方程為y=k₁(x+2)，
將其代入橢圓方程得，
由韋達定理得，
所以
，
同理可得，
則，
又k₁k₂=1，
所以，
故|AB|+|CD|=|AB|·|CD|，
因此，存在λ=，使|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立．