Question

設橢圓M：＝1(a＞)的右焦點為F₁，直線l：x＝與x軸交于點A，若(其中O為坐標原點)．

(1)求橢圓M的方程；

(2)設P是橢圓M上的任意一點，EF為圓N：x²＋(y－2)²＝1的任意一條直徑(E、F為直徑的兩個端點)，求·的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)由題設知，，，1分 　　由，得．3分 　　解得． 　　所以橢圓的方程為；4分 　　(2)方法1：設圓的圓心為， 　　則；6分 　　；7分 　　；8分 　　從而求的最大值轉化為求的最大值；9分 　　因為是橢圓上的任意一點，設，10分 　　所以，即；11分 　　因為點，所以；12分 　　因為，所以當時，取得最大值12；13分 　　所以的最大值為11；14分 　　方法2：設點， 　　因為的中點坐標為，所以；6分 　　所以；7分 　　 　　 　　；9分 　　因為點在圓上，所以，即；10分 　　因為點在橢圓上，所以，即；11分 　　所以；12分 　　因為，所以當時，；14分 　　方法3：①若直線的斜率存在，設的方程為；6分 　　由，解得；7分 　　因為是橢圓上的任一點，設點， 　　所以，即；8分 　　所以，；9分 　　所以；10分 　　因為，所以當時，取得最大值11；11分 　　②若直線的斜率不存在，此時的方程為， 　　由，解得或． 　　不妨設，，；12分 　　因為是橢圓上的任一點，設點， 　　所以，即． 　　所以，． 　　所以． 　　因為，所以當時，取得最大值11；13分 　　綜上可知，的最大值為11．(14分)